Sáu số tam giác đầu tiên

Tổng một phần của chuỗi 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ là 1, 3, 6, 10, 15, v.v. Tổng phần thứ n được cho bởi một công thức đơn giản:

∑ k = 1 n k = n ( n + 1 ) 2 . {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.}

Phương trình này được người Pythagore biết đến sớm nhất là vào thế kỷ thứ sáu trước Công nguyên.[5] Các số có dạng này được gọi là số tam giác, bởi vì chúng có thể được sắp xếp thành một tam giác đều.

Chuỗi vô hạn của các số tam giác phân kỳ thành +, do đó theo định nghĩa, chuỗi vô hạn 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ cũng phân kỳ thành +. Sự khác biệt là một hệ quả đơn giản của hình thức của chuỗi: các thuật ngữ không tiến đến 0, vì vậy chuỗi này phân kỳ theo thử nghiệm hạn.